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一、证明题

1． （1）设

（2）设【答案】（1）令

则

则由于且（2）令

有下界, 又

在

上单调递减, 则

收敛,

两边取极限得则

其中,

在

上非负递减, 证明

时

有极限L , 且

, 证明数列

收敛.

从而单调递减, 从而由单调有界定理得

由（1）知道可知

是

的瑕点, 当

时,

收敛, 令

,

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而

2． 证明级数

收敛, 所以收敛. 因此, 数列收敛.

收敛的充要条件是:任给

,

由级数

, 存在某正整数

N , 对一切n>N时, 总有

有

【答案】“”:取

收敛

, 则存在正整数N 1,

, 则当n>N时有

, 由已知条件, 存在正整数N ,

有

于是及任意正整数P 有

由柯西收敛准则知级数 3． 设

【答案】要证即只要证因

故

收敛.

证明只要证

即证

；

有上界, 则矛盾.

必有极限a ,

因此只要证由由这表明

知,

即只要证知,

单调增加, 假如因此

单调增加、没有上界, 因此

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4． 设

证明:

对任意

无界.

【答案】对任意稠密性, 可以在

这说明

在

对任意正数中选取有理数

上无界.

这样

对任意正数

由有理数的

任意正数

有

在

上

二、解答题

5． 求

. 其中f （x , y ）为连续函数.

使得

其中

6． 若f （x , y ）在有界闭区域D 上连续, 且在D 内任一子区域f （x , y ）=0.

【答案】

假设存在, 使得对一切

故必在D 上f （x , y ） =0.

7． 将直角坐标系下Laplace 方程

【答案】设

则

类似可求

【答案】由中值定理知, 存在

, 所以. 上有

, 则在D 上

,

使得

,

有

.

不妨设

则

. 由连续函数的保号性知:

存在, 与已知

矛盾.

化为极坐标下的形式.