2018年北京科技大学数理学院613数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 求由方程
【答案】方法一由隐函数求导, 得
所确定的函数z=z （x , y ）的极值.
令, 得方程组
由此求出临界点x=0, y=1, . 再代入原方程, 求出两个隐函数的值为
求二阶偏导数, 由（1）式和（2）式, 得
用代入上式, 得
所以隐函数得
在（0, 1）点有极小值1. 用代入（3）式〜（5）式, ,
所以隐函数在（0, 1）点有极大值3.
方法二 取目标函数f （x , y, z ） =z, 约束条件为原方程. 令
求导得
容易看出, 所以由（6）式和（9）式解出x=0, y=1.再由（9）式解出
在（0, 1, 1）点的海森矩阵为
经（8）式解出
它的顺序主子式依次为
所以隐函数
在（0, 1）点有极小值
1. 在（0, 1, 3）点的海森矩阵为
它的顺序主子式依次为
所以隐函数
2． 计算下列定积分:
（1）（4）（7）【答案】 （1）（2）（3）（4）（5）（6）
（7）先求原函数, 再求积分值:
.
（2
）; （5
）（8
）
（3）（6）
;
在（0, 1）点有极大值3.
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（8） 3． 设
【答案】
为由方程
,
所确定的可微隐函数, 求gradz.
4． 质点P 沿着以AB 为直径的圆周,
从点A （1, 2）运动到点B （3, 4）的过程中受变力F 作用, 如图所示.F 的大小等于质点P 到原点O 之间的距离, 其方向垂直于线段
OP 且与y 轴正方向的夹角小于
, 求变力F 对质点P 所做的功.
图
【答案】设P 点的坐标为（x
, y）. 由题设, 设由题设,
于是变力F 对质点P 所做的功为
由于t 从
的方程为到
. 从而
, 所以
的参数方程可表示为
,
,
则r 0可表示为
（
F 0
是F
方向的单位向量）, 故
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