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一、证明题

1． 设

且

, 求证

:

【答案】改写

2． 证明:

【答案】因为

所以

所以

二、解答题

3． 设

（i ）在（ii

）在

在点

的某邻域

1上, 对每个

上有定义, 且满足: . , 存在极限

都有

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（即对任意

成立）.

存在

当

上, 关于x

一致地存在极限

时, 对所有x , 只要

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试证明【答案】先证明条件（ii ）, 存在因此, 当令不妨设下面证明对于当

因为由条件（i

）得

存在. 当时

, 且

时, 且

有

, 根据柯西准则, 可证

存在.

就有

利用（ii ）及前面的结论

,

且 y 与y 0充分接近时, 可使

当所以

时, 有

再将y 固定, 由条件（i ）, 存在因此

即

4． 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性:

（1）（3）（5）

【答案】（

1）任意在

设

上一致收敛. （2）令

的部分和为S n 则任意,

又

故

对任意

是单调递减的. 均有

由狄利克雷判别法知

所以

当r>l时, 因级数当r=l时,

收敛, 所以

在

在

上一致收敛.

上不一致收敛.

上一致收

（2）

（4）

（6

）

因为

而级数

收敛,

所以

又对任意故

敛.

（3）因为

•所以级数

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（

4）因

（5）设

即对任意故敛.

（6）

时

时

. 而收敛, 所以则

在[0

, 1]上一致收敛.

的部分和数列一致有界, 且对任意

在

上一致收

:是单调递减的. 又

, 由狄利克雷判别法可知

x=0 时, 于是

所以

在

上不一致收敛.

5． 试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积:

（

1

）心形线（2）双纽线【答案】 （1）

（2）

6． 求极限

【答案】令

（k 为自然数）.

, 由

可得原极限

.

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