2018年西北农林科技大学园艺学院314数学(农)之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设
为自由度为n 的t 变量，试证:
的极限分布为标准正态分布
其中
故的特征函数为
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知且X 与Y 相互独立. 由Y 的特征函数为考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
再按依概率收敛性知
这就证明了
的极限分布为标准正态分布
注:此结论也可从自由度为n 的t 分布的密度函数直接导出，只是推算稍微复杂一些.
2． 某种福利彩票的奖金额X 由摇奖决定，其分布列为
表
若一年中要开出300个奖，问需要多少奖金总额，才有【答案】记
为第i 次摇奖的奖金额，则可得
根据题意可列如下不等式
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
由此查表得
从中解得
取k=9488（万元）即可.
的把握够发奖金.
的把握能够发放奖金.
，设奖金总额为k （万元）
这表明:该福利彩票一年开出300个奖需要准备9488万元，才能以
3． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布列为
表1
试分别求
【答案】可以看出
的分布列.
的可能取值为1, 2, 3, 并且
即U 的分布列为
表
2
又可以看出
的可能取值为0，1，2，并且
即V 的分布列为
表
3
4． 设
是来自均匀分布的样本，试给出充分统计量.
【答案】总体的密度函数为
于是样本的联合密度为
令
由因子分解定理，
并取
为的充分统计量（这里没有一维的充分统计量）. 这
表明:充分统计量的维数不一定等于未知参数个数.
5． 设总体X 的3阶矩存在，若为样本方差，试证:
【答案】注意到
其中
是取自该总体的简单随机样本，
. 而
为样本均值，
又
由此，
6． 将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率.
【答案】设事件
”，为“恰好结成n 个圈记
，又记事件B 为“第1根绳子的两个
容易看出
所以得递推公式
由此得
7． 检查了一本书的100页，记录各页中的印刷错误的个数，其结果如下
表
问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布（取
）
头相接成圈”，则由全概率公式得
【答案】这是一个要检验总体是否服从泊松分布的假设检验问题. 由于有几类的观测个数偏少，为使用近似分布，需要把后面四类合并为一类. 于是我们把总体分成4类，在原假设下，每类出现的概率为:
未知参数可采用最大似然方法进行估计，为