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一、计算题

1． 设某一设备装有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间都服从参数为

【答案】

记

为第i 个元件的工作时间，

则

的指

数分布，当3个元件都正常工作时，设备才正常工作，试求设备正常工作时间T 的概率分布.

独立同分布，其共同的密度

函数和分布函数分别为

由题设条件知，当3个元件都正常工作时，设备才正常工作，这等价于“3个元件中有一个失效，则此设备就停止工作”，故设备正常工作时间

，所以T 的密度函数为

这表明:设备正常工作时间T 服从参数为

2． 设一页书上的错别字个数服从泊松分布

的指数分布.

，有两个可能取值:1.5和1.8, 且先验分布为

现检查了一页，发现有3个错别字，试求的后验分布. 【答案】

由以上结果我们可以得到的后验分布

，因此

3． 某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率.

【答案】这是一个配对问题. 以记事件“第i 个战士拿到自己的枪”，i=l，2, …，n. 因为

所以由概率的加法公式

得

当n 较大时，上式右端近似于

.

都服从区间（0, 1）上

4． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证:的均匀分布.

【答案】因为X 的密度函数为

又因为

的可能取值范围是（0, 1），且

是严格单调减函数， ，所以

的密度函数为

即 5． 若

试证

为从分布族

为充分统计量.

中抽取的简单样本，

，知

也服从区间（0, 1）上的均匀分布. 结论得证.

其反函数为

【答案】样本X 的联合密度函数为

由因子分解定理知，

6． 如果

【答案】对任意的

试证:首先考虑

的分布函数

因此

其中

为X 的分布函数，类似有

为充分统计量.

因此

由上述两个关系式，再考虑到的任意性，即可得这就意味着

证毕.

7． 一间宿舍内住有5位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.

【答案】将此问题看成是:5个球放入12个盒子中去的盒子模型，由盒子模型可得 P （至少有2个人的生日在同一个月份）=l—p （5个人生日全不同月）

8． 有n 个口袋，每个口袋中均有a 个白球、b 个黑球. 从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋，再从第二个口袋中任取一球放入第三个口袋，如此下去，从第n-l 个口袋中任取一球放入第n 个口袋. 最后从第n 个口袋中任取一球，求此时取到的是白球的概率.

【答案】记A=“从第i 个口袋中取出的是白球”，因为

，知

下用归纳法，设

，则由全概率公式得

所以由归纳法知:

二、证明题

9． 证明:若

则对

有

并由此写出

与

其

中

【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示

为

且U 与V 独立，从而有

由于