2018年广州大学数学与信息科学学院924数学[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 在x=0连续, 且对任何
（1）f 在R 上连续； （2）
【答案】（1）由由f 在x=0连续可得
.
可知f （0+0） =2f（0）, 于是f （0） =0. , 并且对一切
故f 在R 上连续. （2）对整数p , q （
）有
所以
于是对任何有理数r 有
. 对任何无理数, 存在有理数列
, 使
. 由f 在R
. 故对任何. , 上连续, 有
2． 证明:设方程F （x , y ）=0所确定的隐函数y=f（x ）具有二阶导数, 则当
【答案】由题设条件可得
故
所以
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有. 证明:
时, 有
3
3． 求f （x ）=x在区间上的傅里叶级数展开式, 并由此证明:
【答案】因为f （x ））在上可积, 所以可展开成傅里叶级数. 而
故
显然, 当
时, f （x ） =x连续, 故
当x=0时, 级数收敛于于是由式（1）可得
, 即
.
. 再在式（1）中, 令
, 可得
3
二、解答题
4． 设f （x ）在
上连续,
求T n （x ）（即确定系数最小.
【答案】设a n , b n 为f （x ）在
上的傅里叶系数, 而
上式第一、三项为常数. 由此可见, 当且仅当
时最小, 最小值
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）, 使均方差
5． 将
【答案】令
按
的幂展开成幂级数. , 则
因此
因为当-1 即得 , 亦即x>0. 所确定, 求曲面S 的面积. 之下, 曲面S 的方程 是 通过计算易知, 由此得 由曲面的对称性, 只需求第一卦限部分的面积即可. 而此时 , 所以 故S 的面积为 其中V : , 并且由曲面方程知 6． 设曲面S 由方程 【答案】在球坐标变换 : , 其参数方程为 7． 计算五重积分 【答案】当n=5时, 取m=2, 则 第 4 页，共 23 页