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一、证明题

1． 设f （X ，y ）可微，I1与l2是R2上的一组线性无关向量，试证明:若（x , y ）三常数.

【答案】由已知

为的方向余弦，

①

②

则f

为的方向余弦，又因为I 1与l 2线性无关，所以

于是由①、②可得，故f （X ，y ）=常数.

2． 设二元函数f （x , y ）在正方形区域[0, 1]X[0, 1]上连续. 记J=[0, 1].

（1）试比较【答案】 （1

）

由y 的任意性可知（2）若显然

，

使

下面证明上面条件为充分条件，

在[0, 1]上连续,

，使

故

3． 以S （x ）记由理证明拉格朗日中值定理.

【答案】由拉格朗日中值定理的题设知, f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导.

由

三点组成的三角形面积为

由题设知, 函数S （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导. 又因为

, 所以由罗尔中值定理, 存在

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与

，

有

的大小并证明之；

成立的（你认为最好的）充分条件.

时于任意的x 都成立，

则

（2）给出并证明使等式

三点组成的三角形面积, 试对S （x ）应用罗尔中值定

, 使得, 由

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得

4． 设f （X ）在

上n+1

阶导数且及

. 由微分中值定理

求证:

..

【答案】将

f （a+h）在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开, 有

将上式代入式（1）可得

比较式（2）、式（3）, 且有

, 则

9

故

5． 设

为区间

上的连续函数,

且,

证明:存在使得

【答案】因为为区间

上的连续函数, 所以存在最大值与最小值, 即存在M , m , 使得

又因为

即

根据闭区间上连续函数的介值定理, 存在

使得

第

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6．

若把定理中一致收敛函数列上的极限函数在[a, b]上也可积.

的每一项在[a, b]上连续改为在[a, b]上可积, 试证在[a, b]

【答案】对[a, b]任作一分割T , 则f （x ）在上的振幅为

设特别地,

时成立.

存在

只要

就有

从而, 当

时, 有

故

所以由可积第二充要条件知f （x ）在[a, b]上可积.

7． 证明:

若函数

上一致连续. 【答案】首先, 由存在正数于是, 对

, 得

当

总有

时, 有

其次, 由

在

上连续, 知存在

对

时,

与

事件至少一个发生.

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所以, 对任意. 存在N , 当n ≥N 时, 有

又f n （x ）在[a, b]上可积, 故对上述的

在上连续,

且其中b 为非零常数,

则

在

知对

在上连续且一致连续.

时,

于是, 对上述的有综上, 取当

,