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一、计算题

1． 将函数

展开为傅氏级数, 并求级数

, 且

即得

由封闭性公式, 有

由此解得

2． 求下列全微分的原函数:

（1）（2）（3）

【答案】（1）由于数

（2

）由于无关, 故其原函数

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的和.

【答案】因为f （x ）是偶函数, 所以

从而积分与路径无关, 其原函

从而积分与路径

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或

（3）由即

3．

设

,

记

其中

是关于x 的多项式,

求

和

.

【答案】由莱布尼茨公式, 有

由此可知,

和

所以

4． 求曲面

与平面y=4的交线在x=2处的切线与Ox 轴的交角.

则根据导数的几何意义, 切线对Ox 轴的斜率为

易见积分与路径无关, 故原式为某一函数的全微分, 令

【答案】设该角为

所以切线与Ox 轴的交角为

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页

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5． 判别下列积分的收敛性:

【答案】令（1）原积分=敛,

时发散. （2）原积分=

6． （1）求

（2）求（3）求【答案】（1

）以任意相乘, 记

则有

其中

即得

（2）对

展开的幂级数, 用阿贝尔引理得

（3）

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,, 当2m －1<1时收敛,

时发散, 即当m<1时收

, 所以当ml时发散.

在x=0点的幂级数展开式;

的和; 的和.

是一绝对收敛的级数. 由于绝对收敛级数可