2018年桂林电子科技大学数学与计算科学学院811数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为有
【答案】先证由
从而此时有设时, 于是f （x ）在
, 则.
取
则当
,
则对任给的
故
2． 设函数f 在
. 由归结原则得
于是B=A, 即
上二阶可导,
, 证明存在一点
【答案】f （x ）在x=a和x=b的一阶泰勒公式分别为
t
由此得到
于是
其中
或
, 并且满足
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内的递增函数. 证明:若存在数列
在知, 对于
. , 由
得
内有界. , 存在使得当
时,
且, 使得则
,
. 由极限保号性知, 存在N 2
使得当
时, ,
存在
,
使得
由f （x ）的递增性知, 此时有
内有上界.
时,
由确界原理知, f （x ）有上确界.
令
, 于是, 当
, 使得
.
3． 设定义在[a, b]上连续函数列
满足关系
对于在[a, b]上的可积函数f , 定义
证明:
收敛, 且有不等式
【答案】设
依题意可知
与
均在[a, b]上可积
.
其中
所以
故
即级数
的部分和有上界, 从而
收敛, 且
二、解答题
4． 讨论积分
的敛散性. 【答案】先讨论令
, 即
, 则
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的敛散性.
当时, 单调递减趋向于零. 又, 有
所以由D —法知, 当当
时,
时, 收敛;
, 有
由柯西准则知, 发散. 再由
的单调有界性, 根据A —法知,
与具有相同的敛散性.
5． 讨论下列瑕积分的收敛性:
（1） （3） （5）
, 故积分
收敛.
,
（2） （4）
【答案】 （1）x=0是瑕点（2）由于故积分
_收敛.
, 故x=l不是瑕点.x=0为惟一瑕点. 因
（3）x=l为瑕点（4）x=0为瑕点. 当（5）知 6．
2
, 此时p=l, . 故积分, 这里
, 故当收敛. 又由
发散. 时, 积分收敛;
,
时, 积分发散.
由
收敛, 从而可知
为R 中的开集
，
收敛.
为上的函数，且
的x 存在关于
存在.
使得
当
时，有
；根据柯西准则，知
存在. 即等
（为开集），所以
中的y 一致连续.
①
知
（1）对每个（2）
试证:
【答案】首先证明因
根据条件（2）
令
取极限，根据条件（1）可得
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