2018年贵州师范大学物理与电子科学学院719数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若f 在[a, b]上可积, 则f 在[a, b]内必定有无限多个处处稠密的连续点, 这可用区间套方法按以下顺序逐一证明:
（1）若T 是[a, b]的一个分割, 使得（2）存在区间（3）存在区间
,
使得, 使得
使得
说明
为一区间套, 从而存在
:而且, 在点连续. , 存在[a, b]的分割
使
（5）上面求得的f 的连续点在[a, b]上处处稠密. 【答案】因为f （x ）在[a, b]可积, 所以对于由此易知:在T 1的某个小区间导致
, 这与式（*）矛盾. 现取
, 满足
的某一小区间的子区间
依次做下去, 得一区间套
故由闭区间套定理, 存在下证
f x ）为（的一个连续点:任给
. 故当
现在, 任给在
第 2 页，共 27 页
, 则在T 中存在某个小区间
使
（4）继续以上方法, 求出一区间序列
（*）
, f （x ）的振幅
. 如若不然, 将
以足
代替[a, b],
对于,
同样存在
及属于满
存在n , 使, f （x ）
在
, 令
上也可积, 从而由上面已证的结果, f （x ）
’则
且
时
,
, 有
内连续, 故f （x ）的连续点在[a, b]内处处稠密.
2． 证明定理: 数列
收敛于a 的充要条件是:
的极限是1. 为无穷小数列, 则
按照数列收敛的定义, 数列
于是, 对任意收敛于a.
时
,
即
存在N , 使得
当
存在N , 使
即
于是, 数列（2）因为
3． 设
是凸域,
收敛于0, 即
为无穷小数列. 是无穷小数列, 所以, 且满足
t
证明:f （x ）的海色矩阵【答案】由泰勒公式得:
根据条件
故有
.
上式消去t 并令t →0, 即得
这表明矩阵
4． （1）证明:若向量
, 必存在
是半正定的. 由于x 0任意性, 所以海森矩阵在上是半正定的. 是凸开集, f :
是D 上的可微函数, 则对任意两点
, 满足
, 以及每一常. （2）利用（1）
, 因为f 在D 上可微, 所以F （x ）在
使
又
故有
第 3 页，共 27 页
2
为无穷小数列.
并应用它证明数列【答案】（1）充分性, 设得当
时, 必要性, 设数
列
收敛于a , 那么, 对任
意
是半正定的.
.
1为任一向量, 当t 充分小时, 点
结果导出微分中值不等式
.
【答案】（1）考虑实值多元函数D 上也可微, 由于
有
, 则F :
是凸开集, 故根据多元函数的微分中值定理, 对
（2）由, 则有
即
5． 设
和
为正项级数，且存在正数收敛，则级数
时
，
对一切
证明:若级数【答案】由题意
也收敛；若，从而
又因为改变有限项不改变级数的敛散性，所以由比较原则， 若级数
6． 设
收敛，则级数
也收敛；若
发散，则
发散.
在I 上一致连续. 使得存在
使得当
从而
所以 7． 证明
:
【答案】令
, 则
原式
对上式右端第二个积分, 作变换
原式
这里用到了在
上
,
第 4 页，共 27 页
，有
发散，则
也发散.
是区间I 上有界且一致连续的函数, 求证:
在区间Ⅰ上有界, 则存在的一致连续性得到, 对于任意
【答案】由于再由
时, 有
在区间Ⅰ上一致连续.
,
.
, 则有
故