2018年东南大学经济管理学院601数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设级数
收敛，证明
也收敛.
【答案】因为
又
及
收敛，故
收敛，所以由比较原则得
收敛.
2． 设函数f （X ）, g （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且
求证:如果
严格单调增加, 则
,
和
都严格单调增加. 【答案】
不妨设
定理, 存在
使得
又因为
严格单调增加, 所以
从而
从而
3． 设
（1）（2）（3）若
严格单调増加. 同理可证为有界数列, 证明:
s , 则
（4）若
’
则为有界数列知.
也是有界数列, 故
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分别代替f （x ）, g （x ））, 根据柯西中值
（否则用
单调增加.
【答案】（1）由与都存在. 设
则对任意>0, 存在N , 使得当n>N时有
于是,
对于, 使得（2）
设
于是, 此时有
由的任意性可得
,
任给
并存在子列. 使得时有
, 即
并且存在子列
, 存在正整数N ,
使得当
由定理知, 对任给
的
按上极限、下极限的定义有,
存在N , 使得
当时,
有
由上、下极限的保不等式性可得
*
即（3）设使得当
时,
有
由定理知, 对任给的
, 由此得
同理可证
, 使得’因此
上可微, 且对
成立
.
, 有
, 又存在另一子列
使得
, 存在正整数N ,
,
由上、下极限的保不等式性有由的任意性可知. （4）存在
的子列
4． 设二元函数
证明:对任意
在区域
【答案】应用微分中值定理, 有
其中介于x 1与x 2之间
,
介于
与
之间.
使得
则存在使得
.
即 使得
即
由
5． 证明:若S 为无上界数集, 则存在一递増数列
【答案】令且
. 如果已找到
.
令
使得
则存在
, 存在.
使得
再令
归纳原理知, 存在一递增数列
6． 证明
；
【答案】因为
是[﹣1, 1]上的连续函数，且S （﹣1）存在.
而
收敛，故由魏尔斯特拉斯判别法
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可知对任意的此
7． 倘若例. ）
在[﹣1，1]上一致收敛. |
因为
存在.
都是无界数列, 试问
为
为
是有界数列.
是否必为无界数列? （若是, 需作证明; 若否, 需给出反
连续，所以
在[-1，﹣1]上连续，
【答案】不一定. 如反例:设数列
显然, 这两个数列都是无界数列, 但是
c c
8． 证明:开集与闭集具有对偶性--若E 为开集, 则E 为闭集；若E 为闭集, 则E 为开集.
【答案】（1）设E 为开集, 假设E 不是闭集, 则由闭集定义知, E 中至少有一个聚点不属于E c 设这个聚点为A , 则必有
c
c
c
, 使因为E 为开集, 所以存在点A 的某邻域U （A ）
c
c
因此, U
（A ）中不含有E 中的点, 这与A 是E 的聚点矛盾, 因此, 若E 为开集, 则E 为闭集.
c c c
（2）设E 为闭集, 假设E 不是开集, 由开集定义知E 中至少有一个点不是E 的内点, 设这个
点为B , 则 根据内点的定义知, 对点B 的任何邻域U （B ）都有U （B ）不含于E 即U （B ）中含有E 中的点, 因此, B 为E 的聚点, 但与
是闭集矛盾, 因而, 若E 为闭集, 则E 为开集.
c
c
二、解答题
9． 设
【答案】
由
又
10．求下列极限:
（1）（2）【答案】（1）
在区域
上连续. 因此
（2）
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求的定义域和解
得
从
而
的定义域
为
在区域上连续, 因此