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一、证明题

1． 证明:连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数; 连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.

【答案】设f （x ）是连续的奇函数, 则所以F （x ）是偶函数. 若f （x ）是连续的偶函数, 则

是f （x ）的一个原函数, 则

所以F （x ）是奇函数. 奇函数要求过原点, 因此, 连续的偶函数的原函数中只有过原点的那一个是奇函数.

2． 设正项级数

【答案】

收敛. 证明:级数收敛, 则

令

则

, 级数

的部分和为

从而级数

3． [1]证明:若数列

[2]证明:若数列（1）级数（2）当（1）（2）（3）

【答案】[1]级数的前n 项和

.

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是f （x ）的所有原函数, 而

也收敛, 其中.

收敛.

收敛于a ，则级数. 有

发散；

时，级数

.

，则

[3]应用第[1][2]题的结果求下列级数的和.

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而

，所以

即

[2] （1）级数的前n 项和

则

（2

）级数的前n

项和

即 [3]（1）记（2）

记（3）

记

b=n+1

，，

则由第[2]题可得，原式= 4．

设

【答案】记

则

试证:

当x

≥0

时,

, 显然

在x ≥0,

上

2

故级数发散.

，则

由第[1]题可得，原式=

.

. 则

由第[1]题可得，原式=-（-1）-0=1.⑴=1

连续, 所以可在积分号下求导,

即

令

则

又

所以

故

, 因此, 当x ≥0时,

从f

（x ） +g （x ） =C （C 为常数）,

当x=0时,

二、解答题

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5． f （x ）在有界实数集E 上一致连续的充要条件是把E 中的柯西列变为R 中的柯西列.

【答案】只要从而有

,

. 当n , mN 时, 有

是柯西列

.

. 对

.

.

是E 中的柯西列,

却发散, 不是柯西列.

按

的幂展开成幂级数. 则

,

故

所以

由

即

可得x>0, 所以

7． 求下列幂级数的收敛域:

（1）（2）

【答案】（1）设

, 则

故收敛半径为（﹣R , R ）.

（2）设

则

:

故收敛半径为

又

时,

,

又当

故原幂级数在

时发散, 收敛域

相应地存在

和

,

这表明

,

就有

若f 在E 上一致连续, 则设{xn }是E 中任一柯西列, 对上述

假设f （x ）在E 上非一致连续, 则尽管注意到即但 6． 试将

【答案】设又

与此相对应的

,

但

也有一个子列

是有界数列, 由致密性定理, 它存在收敛子列

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