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一、证明题

1． 证明公式

【答案】

2． 设函数f （X ）, g （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且

求证:如果

严格单调增加, 则

,

和

都严格单调增加. 【答案】

不妨设

定理, 存在

使得

又因为

严格单调增加, 所以

从而

从而 3． 设

证明

并说明其中等号何时成立.

【答案】由于

因此

当且仅当

即

时, 原不等式中的等号成立.

严格单调増加. 同理可证

单调增加.

（否则用

分别代替f （x ）, g （x ））, 根据柯西中值

4． 证明:若致地成立, 即对任意

【答案】先证由于

.

在时一致收敛于F （x ）. 且

收敛.

对任何对一切

成立, 则有

一

存在M>0, 当x>M时,

在时一致收敛,

因此任给

一致收敛于

,

存在N ,

对一切

,

和一切,

都有

又由于f （x , t ）对任何因此对从而

, 存在X , 对一切x>X和都有

即再证

收敛.

考虑

由一致收敛于F （x ）知, 任绐存在N 1, 对一切A> N1和一切

有

由由从而有

收敛, 对上述

取

存在N 2, 对一切A> N2, 有

, 对

, 存在X , 对一切x>X和t , 有

综合上述, 对任给的

存在x , 对一切x>X, 有

二、解答题

5． 周期函数的原函数是否还是周期函数？

【答案】设F （x ）是f （x ）的原函数, 且

因此, F （x ）也是周期函数.

.

6． 求下列函数在指定点的高阶导数:

（1）（2）【答案】（1）

,

（2）

7． 是否存在

由

时, 由

由又知由于是

这与连续, 可知

存在及的连续可导函数

知,

为满足:在

且

则

当

, 求

, 求,

, , , ,

, ,

,

.

,

；

【答案】方法一 若存在满足这些条件的函数,

上严格单调递増, 又

由

存在, .

根据单调有界定理,

从而存在, 必有

矛盾, 所以假设不成立,

所以这样的函数不存在.

方法二 假若存在满足这些条件的函数, 由又由对于是从而显然, 当 8． 设大值.

【答案】先求f 在条件

下的最大值. 设

令

知

, 得有

在

上严格单调递增,

时, 有这与条件矛盾, 所以这样的函数不存在.

在限制条件

下的最

为已知的n 个正数, 求