2018年安徽大学数学科学学院627数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 按定积分定义证明
:
【答案】对于和为
从而
可取为任何正数, 只要使
, 就有
根据定积分定义有
2． 用定义证明下列极限:
（1）（2）若
（3）对黎曼函数
有
【答案】（1）设x>0, 对
（当
因为
取
, 则当x>X时有
即
（2）对
,
由. , 于是有
取
, 则当
时, 有
的任一分割
, 任取
相应的积分
' ,
则
时考虑单侧极限）.
, 则, 当时有. 假设
, 从而有, 故
（3）设限个有理数
,
使得
,
对
, 因为满足,
因而可取
的正整数q 只有有限个, 从而在[0, 1]中至多只有有
, 使得
内不含上述有限个有理数,
于是当, 从而
（当
, 1时考虑
时, 不论x 是有理数还是无理数, 都有
0的右去心邻域和1的左去心邻域）.
3． 证明棣莫弗（deMoiwe ）公式
【答案】设
代入欧拉公式得
二、解答题
4． 试作一函数
使当
时,
（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；
（4）重极限与一个累次极限存在, 另一个累次极限不存在. 【答案】（1）函数
满足
因为
故（2）函数同理
不存在，
满足
也不存在. 但是
（3）函数因为在（4）函数
5． 求曲线
【答案】曲线质量为
I
的质量, 设其线密度为
.
满足当满足
时，重极限和两个累次极限都不存在，
不存在但是
时，sinx 的值在﹣1与1之间振荡，同理，siny 也是一样的.
不存在.
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6． 求
f （
X
）使曲线积分
【答案】
设
因为积分与路径无关, 所以
即
与路径无关, 这里
不通过y 轴.
于是得
7． 求定积分
【答案】作变量替换
则
则
8． 试作适当变换
, 把下列二重积分为单重积分:
, 其中D 为圆域:
（2）（3）（
4
）
, 其中, 其中, 其中
,
.
,
【答案】（1）经过极坐标变换后
（2）积分区域D 如图1所示, 由它的对称性及被积函数关于x 和关于y 都是偶函数, 知积分值等于4倍的第一象限部分D 1上的积分值, 其中
, 应用极坐标变换, 有
所以
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