2017年湖南农业大学理学院602数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 己知
都是可微的
，
【答案】因为
故原式成立.
2． 证明：对任一多项式
【答案】设当n 为偶数时，时，格递增。
当n 为奇数时
，
令
为偶数，
则则
在
与
故存在
内分别严格递增。
使得当
时
，
当
为奇数，此时有时，
于是，在
内
一定存在与
使
在
与不妨设
故存在
严格递减，在
内
使得当
严
内分别严格单调。 则
证明：
二、解答题
3． 已知
【答案】首先证明
令
代入①的左端得
第 2 页，共 30 页
试讨论函数，在原点(0, 0) 处是否连续？
故①成立. 又因为
根据迫敛性可知，
所以函数
在原点
处连续.
4． 设有半径为r 的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为在圆心处有一单位正电荷. 试求它们之间作用力的大小。
【答案】如图所示，
在处，
从
到
正电荷在垂直方向上的引力为
故导线与电荷的作用力为
图
5． 设
【答案】因为
所以函数是连续的. 因为
第 3 页，共 30 页
的一段导线的电量微元为它对圆心处的单位
讨论函数的连续性和可微性.
所以函数是可微的.
6． 设
大值还是极小值？
【答案】
由
得方程组
故
于是
在
7． 展开函数
为正弦级数，并指出当
时，此级数之和.
取得极小值，在，
取得极大值。
解得
在
处都取得极值，试求a 与b ; 并问这时f 在与是取得极
【答案】将f (x ) 作以2π为周期的奇延拓，
故对
8． 若曲线以极坐标线积分：
(1) (2) 且
第 4 页，共 30 页
上述级数收敛于
表示，试给出计算
的公式，并用此公式计算下列曲
其中L 为曲线其中L 为对数螺线
的一段； 在圆
内的部分.
【答案】因L 的参数方程为