2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院750数学基础综合之数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
在
上可微，且对
满足
证明:【答案】
则
因此若一个点列
对
使得
另一方面，由令
2． 设则必是则存在一点
使
取可得
这显然与刚才的结论矛盾，所以
存在广义极限，记为L.
在
，则
上应用拉格朗日中值定理，存在
这表明在
使得
上存在
在区间Ⅰ上连续，并且在Ⅰ上仅有惟一的极值点在Ⅰ上的最大(小) 值点。
证明：若是的极大(小) 值点，
在I 上的最大值点，
在
【答案】用反证法，只对是f 的极大值点的情形进行证明. 假设不是
使得
(
不妨设则当
上存在最小值m 。因为
而是
时，
) 。由连续函数的最大最小值定理知
，
的一个极大值点，所以存在
即是
的一个极小值
点，这与在I 上仅有惟一极值点矛盾. 故原命题成立。
3． 证明若f 为周期函数，且
则
【答案】用反证法. 设的周期为
则有
知. 这与题设矛盾. 故
4． 证明棣莫弗公式
假设
则存在
使得
作数列
由归结原则
【答案】设
5． 证明：若
【答案】由
代入欧拉公式得为递增数列，又因为
为递减数列，且
则
与
都存在且相等.
f 上界，因而
可知，数列为递减数列，所以是
的一个上界. 由
是有界数列，设正数M , 使得对一切n ，
于是，数列
可得
与
都存在. 再由
数列也有上界. 设正数
和
综上所述，得
6． 证明数集
都是单调有界的，所以
有且只有两个聚点
数列
和数
列
则
由
得
总之
取
【答案】令数
集聚点.
对任意
则当
时，
或者有
且
令
或者有
都是各项互异的数列，根据定义2, 1和-1是S 的两个
由定义2知不是S 的聚点，故数集有且只有1和一1两个聚点。
7．
设函数在由封闭的光滑曲线L 所围的区域D 上具有二阶连续偏导数，
证明
其中
【答案】由于
为
沿L 外法线方向n 的导数.
所以
由题意知
在D 上具有连续导数，故由格林公式知
因此
二、计算及讨论题
8． 已知
级数
发散，求证级数知，
级数
于是有
也发散.
均为正项级数.
【答案】反证法由假设级数
收敛，则
从而由正项级数的比较判别法知级数
9． 计算第二型曲线积分曲线.
【答案】由题意可令
收敛，这与题设矛盾，所以原命题成立.
其中L 是从A (0，1) 沿则
到的一段
所以积分与路径无关，选择A 点沿y 轴到原点，再由原点沿x 轴到B 点的路径. 从而
10．将下列函数展开成麦克劳林级数：
(1
) (2
) (3
) (4
) (5
) 【答案】⑴而
所以当
时，有
(2) 由于
所以
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