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一、证明题

1． 设

在

上三阶可导，证明存在

使得

【答案】则有使得

即

2． 证明

:

任意正数.

【答案】由于

有

当

积分在

若该积分在

时，关于单调递减，且当内一致收敛，则对

时一致收敛于0, 由狄利克雷判别法知该使得

因为

另一方面，

由于

，则

所以

则

当当

因而

时有

时有

取

于是当

则

矛盾，故原积分在

内不一致收敛。

时，

若

有

在

上一致收敛；在

内不一致收敛，其中

与为

连续使用柯西中值定理，

上一致收敛.

二、解答题

3． 设S

是椭圆面

为点

的上半部分，

点到平面的距离，求

为S 在点P 的切平面

，

【答案】设(X ，Y ，Z ) 为上任意一点，则的方程为

由此易知

由S 的方程

有，

于是

其中

是S 在

平面上的投影.

作极坐标变换容易求出：

4． 求下列不定积分：

【答案】（1）原积分

（2）原积分

（3）原积分

5． 设a>0, 求曲线数为

上的点到xy 平面的最大与最小距离.

到xy 平面的距离d=z, 构造拉格朗日函

【答案】设P (x ，y , z) 为曲线上任一点，易知

对L 求偏导并令它们都等于0得

解之得

»

或因此

与

是

的稳定点，且所求的条件上存在最大值与最小值，

因此

极值点在其中取得. 由于d=z

在有界闭集

时

与

:时

就是所求曲线上的点到xy 平面的最小与最大距离.

6． 作极坐标变换，将二重积分

化为定积分，其中【答案】如图所示：

图

令

则

7． 求下列函数的偏导数：