2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设，
且
求证：
【答案】改写
2．
为(2
) 试证：
中的开集，
的x 存在关于
存在. 所以
当
为上的函数，且
中的y —致连续.
使得
时，有
根据柯西准则，
知
存在. 即等式
(1) 对每个
【答案】首先证明因
根据条件(2)
令其次
，
取极限，根据条件(1)
可得
由
①左端极限存在，记之为A.
利用条件(2) 及上一步骤之结论，可取x 与将x 固定，由条件(1) 于是由②式知
3． 证明：点列
即
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充分接近使得
时
使得
证毕.
收敛于
的充要条件是收敛于
则对任给的
存在N ，
当
时
【答案】
必要性设点列
故从而同理充分性设因此故点列
收敛于
在区间[0, 1]上总有惟一实根则.
在[0, 1]上有零点.
所以.
在[0, 1]上存在惟一的零点，即方程
两边取极限得
上连续可微，且
则
【答案】因为
且
所以
由施瓦兹不等式可知，
因此
6． 已知为三维空间中的有界区域，的边界为分段光滑的曲面，在
上 连续可偏导. 求证：【答案】不妨设
于是有
在[0，1]上单调.
1]
上总有惟一实根在区间[0，
并求
4． 证明对任意自然数n ，方程
【答案】令
连续函数的零点定理知，
又从而
对
5． 若在
侧对任给的
存在N , 当
时，
因此，由
为外法向量，u (x ，y ，z )
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7．
设级数
与级数都发散，
试问
与
一定发散吗？又若与
都发散时，
_
都是
F —定发散.
如即
收敛. 发散知存在
非负数，则能得出什么结论？
【答案】⑴
当
又如，(2)
当
两级数均发散，但两级数均发散，且，均非负时，
则
和P 使
而由
与
非负有
由柯西准则知
发散.
发散.
一定发散. 这是因为：
由
对任意自然数N ，总存在自然数
二、计算及讨论题
8． 设函数
在
上连续，且
求证：在【答案】令
内至少存在两个不同的点
则有
所
以存在
恒为 负，
都与个不同零点，
再用罗尔定理，则存在
使得
即
矛盾.
又当
时
，
故
于是
在
上有三
使
得
因若不然，
则在
内
或
恒为正，
或
|使
又因为
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