2017年武汉科技大学高性能钢铁材料及其应用湖北省协同创新中心840数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列
【答案】令M=l，存在且
如果已找到
令
使得
证明
当
则存在
时，有
即在
在
内有界，又由上有界. 设
将
在
上连续知，分拆成两项
对第二项使用第一中值定理，存在由于故证得
3． 设
在
上连续，且有惟一最小值点
则
于是
这与最小值点的惟一性矛盾.
第 2 页，共 22 页
使得
则存在使得
即
使的
即
由
使得再令
归纳原理知，存在一递増数列
2． 设在
【答案】由
上连续，且
知，对于数1，存在从而
上有界.
综合上面可得
在
其中第一项当时必趋于零. 事实上
使
从而
时
，所以
若
.
中可选取子列
满足
由于这个
显然
【答案】假设且
在
子列有界，由致密性定理，可从它中再选取一个收敛子列，
仍记为
4． 证明下列不等式：
【答案】(1)
因为等于1或
所以由积分不等式
即(2) 因为在(3) 由于在
上
，
且函数不恒等于1和所以有
上
，
所以有
(4) 设
则
得
在
上惟一的驻点为
为函数
为
在在
可验证它是极大值上的最大值，
又
上的最小值，
从而在
上连续，且不恒
点，而可导函数惟一的极大值必为最大值，
所以
且
由此得
故
二、解答题
5． 求由曲线
与坐标轴所围图形的面积。
和
所围图形的面积为
【答案】如图所示，曲线与x 轴、y 轴的交点为
图
第 3 页，共 22 页
6． 设
【答案】令
则
所以平行六面体体积
7． 试作适当变换，把下列二重积分为单重积分：
其中
其中
【答案】(1) 经过极坐标变换后
(2) 积分区域D 如图1 所示，由它的对称性及被积函数关于x 和关于y 都是偶函数，知积分值等于4 倍的第一象限部分有
所以
上的积分值，其中
，应用极坐标变换，
其中D 为圆域：
，其中
求由平面
所界平行六面体的体积.
图1
(3)
令
所以
第 4 页，共 22 页
则原积分区域变换
成