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一、证明题

1． 证明下列不等式：

【答案】(1)

所以有

(2)

所以有

2． 证明对任意自然数n ，方程

【答案】令

连续函数的零点定理知，

又从而

对

两边取极限得

在[0, 1]上存在惟一的零点，即方程

则

.

在[0, 1]上有零点.

所以.

在[0，1]上单调.

1]

上总有惟一实根在区间[0，

在区间[0, 1]上总有惟一实根

并求

因此，由

3． 证明棣莫弗

【答案】设

公式

代入欧拉公式得

证明

有

于是有

4． 设f 在区间I 上有界，记

【答案】对任意的

即

故

设为任意正数，则存在于是有

故

5． (1) 证明：若

(2) 证明：若f 在【答案】(1) 由于有

从而有

由

根据第(1) 题知：

6． 设f (x ) 在

上连续

，

绝对收敛，证明：

【答案】因为因为

绝对收敛，当n 足够大的时候

收敛可知

收敛，

所以

收敛，且存在极限上可导，且存在，若

因

与

设故则

都收敛，则对

发散，于是

存在M ，使得当

时，

也发散. 这

使得

与已知条件矛盾，故有

(2)

设

连续，所以当n 足够大的时候

由于的任意性，所以命题成立.

7． 设函数

在

上连续，在.

内可导，且满足

证明:至少存在一点

【答案】令

中值定

理知，

使得

因此，由罗尔定理可知，

故有

使得

由于

使则

在

上连续，在

内可导. 由题设，利用积分

二、计算及讨论题

8． 流体流速

求单位时间内穿过球面

是S 在三个坐标面上的投影面，则有

其

中

分别

是

的单位法矢，显然有

^

故

从

而

的流量。

【答案】设S 为所给球面，

于是所求流量为

9． 计算下列向量场A 的散度和旋度：

【答案】