2018年中国农业大学动物科技学院701数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 已知A 是三阶矩阵，r （A ）=1, 则
A. 必是A 的二重特征值 B. 至少是A 的二重特征值 C. 至多是A 的二重特征值
D. —重、二重、三重特征值都有可能 【答案】B
【解析】矩阵A
对应特征值
的线性无关的特征向量的个数特征值的重数
.
即
特征值，也可能三重.
例
2．
二次型
A. B. C. D.
必有两个线性无关特征向量. 故
但
的重数
即
至少是二重
（ ）。
是三重特征值.
的规范形是（ ）。
【答案】B
【解析】a 项，由于二次型的规范形中，平方项的系数只能是1，-1，0. 因此应当排除BCD 三项，令
因为行列式
所以上述变换（1）不是坐标变换，
当然
也就不是规范形了. 二次型f 经整理为
由于
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故矩阵a 的特征值是12，-6, 0。因此二次型正惯性指数p=Ⅰ，负惯性指数q=1，故标准型为：
3．
某五元齐次线性方程组经高斯消元系数矩阵化为
自由变量若取为
那么，正确的共有（
）。
A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
【答案】
B
【解析】因为系数矩阵的秩
由于去掉
有
故应当有2个自由变量. 因为其秩与r （A ）不相等，故
两列之后
，所剩三阶矩阵为
不能是自由变量. 与
都不为0,
因此
不是自由变量. 同理，
因为行列式 4
．
设
基础解系，
则
A. B.
C. D.
【答案】D
都为
均可以是自由变量
.
是四阶矩阵，为A 的伴随矩阵
，若是方程Ax=0的一个
的基础解系可为（
）。
【解析】
由伴随矩阵性质知
，
的解. 又r （A ）=3.从而
又Ax=0有非零解，
故|A|=0
, 即
故
即
的基础解系的秩为3. 又由条
件知，即线性相关.
从而，
线性无关且为的基础解系.
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5．
设
A. B. C. D. 【答案】C
是三阶矩阵，则|A|=（ ）。
靠拢.
【解析】分别对每个行列式作适当的列变换，向A 项
，B 项
，
C 项
，D 项
， 6． 设
其中
且有
则结论
是对称阵；
是单位阵；
是正交阵；是可逆阵中正确的个数是（ ）。
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】由
由
得
，故A 是正交阵
，
成立.
成立.
成立
.
成立.
知正交阵是可逆阵，
且
二、填空题
7． 已知三阶矩阵A
的特征值是的特征值是_____。
【答案】6, 3, 2 【解析】
由因为A
的特征值
的特征值
8． 设n 阶矩阵a 的各行元素之和均为零，且A
的秩为
【答案】【解析】
由
知方程组
的基础解系只含有
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又三阶矩阵B 满足关系式则矩阵B
知
的特征值
的特征值
所以矩阵B 的特征值为：6, 3, 2.
则线性方程组
的通解为_____.
个解向量. 又矩阵A