2018年中国地质大学生物地质与环境地质国家重点实验室610高等数学之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、填空题
1． 设A 是n 阶矩阵，满足
【答案】【解析】
故
故可逆，
且
即
有惟一解
方程组
即
有特解【答案】
【解析】方程组⑴Ax 二b 有進一解，
故
Ⅰ
方程组
故⑵的通解为
其中k 是任意常数.
3．
方程
的根是_____.
础解系只有一个线性无关向量组成，
且是
则方程组（2）的通解是_____.
其中k 是任意常数
显然
且
的另一个特解.B 是3X4矩阵，故对应齐次方程组Bx=0的基
左边分解因式，有
两边加E ,
得
，则E-A 可逆，且
=_____.
2．
设线性方程组
【答案】a ，b ，-（+6）
【解析】行列式展开后是一元三次方程，应有三个根，当x=a时，一、二行相等，行列式为零，x=a是方程的根. 同理x=b也是. 又行列式每行元素和相等，且等于x+a+b, 将第二、三列加到第一列，并提公因子，得
得x=-（a+b）. 故方程的三个根是a , b ，-（a+b）. 4．
与矩阵
【答案】
【解析】
设矩阵
可以交换的矩阵是_____.
其中
为任意实数 与矩阵A 可交换，即
即
亦即
得
整理得齐次方程组
方程组对应的矩阵为
令解得
故
其中
为任意实数.
二、选择题
5．
是齐次方程组
A. 充分必要条件 B. 充分而非必要条件 C. 必要而非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B
【解析】n 个方程n
个未知数的齐次方程组
有非零解
有非零解的（ ）。
又是
6．
设（ ）。
A.3 B.5
C.3 或-5
D.5 或-3 【答案】C
【解析】因为齐次方程组解系只有一个向量.
因此
充分条件并非必要条件.
可见
：能保证
但时得故
若齐次方程组的任一非零解均可以用线性表出，那么必有
有非零解，
且芄任一解均可以由线性表出，说明
对矩阵A 作初等变换有
的基础
可见当
7．
已知四维向量组且向
量
时，
均有秩
线性无关，
则
（ ）。
A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C
【解析】将表出关系合并成矩阵形式有
因四个四维向量故
初等行变换，
故有
线性无关，
是可逆矩阵，A 左乘C ，即对C 作若干次