2018年中国农业大学动物科技学院701数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1．
二次型
A. B. C. D.
的规范形是（ ）。
【答案】B
【解析】a 项，由于二次型的规范形中，平方项的系数只能是1，-1，0. 因此应当排除BCD 三项，令
因为行列式
所以上述变换（1）不是坐标变换，
当然
也就不是规范形了. 二次型f 经整理为
由于
故矩阵a 的特征值是12，-6, 0。因此二次型正惯性指数p=Ⅰ，负惯性指数q=1，故标准型为
：
2． n 阶矩阵A 和B 具有相同的特征值是A 与B 相似的（ ）。
A. 充分必要条件 B. 必要而非充分条件 C. 充分而非必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B
【解析】由A 〜B , 即存在可逆矩阵P
使
即A 与B 有相同的特征值.
知
但当A , B 有相同特征值时，A 与B 不一定相似，例如相同的特征值
相同的特征值.
3．
设向量组（Ⅰ）
但由于
虽然A , B 有
A , B 不可能相似. 所以，相似的必要条件是A ，B 有
可由向量组
可由向量组
线性表示，则（ ）
A. 若向量组（Ⅰ）线性无关，
则B. 若向量组（Ⅰ）线性相关，
则C. 若向量组（Ⅱ）线性无关，
则D. 若向量组（Ⅱ）线性相关，
则【答案】A 【解析】
向量组
线性表示，则
对选项A ，若向量组（Ⅰ）线性无关，
则故
4． 设A 是n 阶矩阵， 经过若干次初等行变换后得到的矩阵记为B , 则下列结论：
同解
同解
中正确的是（ ）。
【答案】C
【解析】A 经过若干次初等行变换得B. 即存在可逆阵P ，
使故有
注意
故
5．
是齐次方程组
A. 充分必要条件
（P 是若干个初等阵的积）
反之
成立.
两边左乘P ,
有
故两边左乘
不成立.
成立. 又若存在x ，
使
得因为
故
不一定为1，
故
必有
同解
不成立.
又若
有非零解的（ ）。
B. 充分而非必要条件 C. 必要而非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B
【解析】n 个方程n
个未知数的齐次方程组又是
充分条件并非必要条件.
可见
：
有非零解能保证
但时得
故
6． 设A 是n 阶矩阵，下列命题中正确的是（ ）。
A.
若
是B.
若
是C.
若
是D.
若
是
【答案】D
【解析】D 项，
若是2A 的特征向量，
即
A
属于特征值的特征向量.
ABC 三项，
由于
量.
例如
与
上例还说明当矩阵A
不可逆时
不一定同解，
所以
不一定是
的特征向
那么
所以是矩阵
的特征向量，
那么是A 的特征向量 的特征向量，
那么是A 的特征向量 的特征向量，
那么是A 的特征向量 . 的特征向量，
那么是A 的特征向量
的特征向量不一定是A 的特征向量；
的特征向量不一定是A 的特征向量.
二、填空题
7． 四阶矩阵A 和B
满足
若
则B=_____.
【答案】
右乘A 有2B=BA+6E.
【解析】化简矩阵方程，
左乘于是B （2E-A ）=6E
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