2017年同济大学物理科学与工程学院608高等数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． a=3i-j-2k，b=i＋2j-k ，求
⑴a ·b 及a ×b ； ⑵（﹣2a ）·3b 及a ×2b ； ⑶a ，b 的夹角的余弦.
【答案】 ⑴a ·b=（3，﹣1，﹣2）（1, 2，﹣1） ·=3×1＋（﹣1）×2＋（﹣2）×（﹣1）
=3
⑵（﹣2a ）·3b=﹣6（a ·b ）=﹣6×3=﹣18 a ×2b=2（a ×b ）=2（5, 1, 7）=（10, 2, 14） ⑶
2． 已
知
【答案】设代入方程并整理，得不妨取u=x, 则
则它的通解为
其中
f=2x
是齐次线性方
程的通解。
是非齐次线性方程的解，则
的一个解，求非齐次线性方
程
且y 2与y 1线性无关，将非齐次方程化为标准形
3． 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程:
（1）（2）
【答案】（1）将
22
入（z+C）+y=1中，得
（其中C 为任意常数） （其中C 1.C 2为任意常数）
两端关于x 求导，得
关于x 求二次导数，得
即有
将其带
（2）将
把以上两式看成是以C 1与C 2为未知量的线性方程组，解得代入
得
即
4． 设数列
的一般项
，问
求出N ，使当n>N时，x n 与其极限之差的绝
对值小于正数ε。当e=0.001时，求出数N 。
【答案】因为
，则当
要n>1000，就有
5．
如果存在直线
动点M （x , y ）到直线L 的距离率
时，称L 为斜渐进线。 （1）证明直线
为曲线
的渐近线的充分必要条件是
（2）求曲线【答案】（1）就
的斜渐近线。
的情形证明，其他情形类似。
，
要使
时，就有
。 使得当
，则称L 为曲线
时，
曲线
上的
，当
，
只要
时，取
，
即
，
所以对，即若
，
取，只
的渐近线，当直线L 的斜
①若
，如图所示，
（а为L 的倾角，
，曲线）
，显然
上动点
到直线L 的距离为与
因为
。过M 作横轴的垂线，交直线L 于K 1，则等价，而是曲线
，可得
的渐近线，所以
，
图
即从而
反之，若（2）、（3）成立。则（1）成立，即②若k=0，设
是曲线
的水平
，
而
。
反之，若（4）、（5）成立，即有渐近线。
（2）因为
，
所以，所求曲线的斜渐近线为
，故y=b是曲线
的水平
，故
有
，
渐近线，按定义
有
是曲线
的渐近线。
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