2017年天津职业技术师范大学理学院812高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列二重积分
（1），其中D 是顶点分别为
和
的梯形闭区
域；
（2），其中
（3），其中D 是圆周
所围成的闭区域；
（4）
，其中
。
【答案】（1）D 可表示为
，于是
（2）由于
（3）利用极坐标计算，在极坐标系中，有
于是
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故
（4）利用对称性可知
，又
因
此
2． 求过点（﹣1, 0, 4），且平行于平面交的直线的方程.
【答案】设所求直线方程为
所求直线平行于平面又所求直线与直线
，故有
相交，故有
，又与直线
相
即
联立式（8-9）（8-10）式可得
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因此所求直线方成为
3． 当是xOy 面内的一个闭区域时，曲面积
与二重积分有什么关系:
恒
【答案】当为xOy 面内的一个闭区域时，的方程为z=0，因此在取值的为
且
。又在xOy 面上的投影区域即
为自身，因此有
4． 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.
【答案】设球面方程为
是它的内接长方体在第一卦限内的一
个顶点，则此长方体的长、 宽、高分别为2x ，2y ，2Z ，体积为
令
由
解得，代入，得，故为唯一可能的
时，
极值点。由于内接于球且有最大体积的长方体必定存在，所以当长方体的长、宽、高都为其体积最大。
5． 计算下列反三角函数值的近似值:
【答案】（1）由及取
得
（2）由
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