2017年天津职业技术师范大学理学院812高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 含有未知函数的导数的方程称为微分方程, 例如方程为已知函数。如果函数
, 其中
f x ）为未知函数的导数, （
就称为这
代入微分方程, 使微分方程成为恒等式, 那么函数
个微分方程的解。求下列微分方程满足所给条件
【答案】由
, 得
, 于是所求的解为
由由
2． 求圆盘
, 得, 得
故
, 于是所求的解为
绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。
绕y 轴旋转所得
绕y 轴旋转所得的立体，因此
【答案】这是一个圆环面，可以看作由图形的立体减去由图形
3． 设
，
求【答案】
的图形如图所示。
并作出函数
的图形。
图
4． 设函数f （x ）在
内具有一阶连续导数，L 是上半平面（y>0）内的有向分段光
，终点为（c ，d ）滑曲线，其起点为（a ，b ）。记
（1）曲线积分I 与路径无关; （2）当ab=cd时，求I 的值。 【答案】（l ）因为
在上半平面这个单连通区域内处处成立，所以在上半平面内曲线积分与路径L 无关。 （2）由于I 与路径无关，故可取积分路径L 为由点（a ，b ）到点（c ，b ）再到点（c ，d ）的有向折线， 从而得
当ab=cd时，
，由此得
。
5． 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中，其速率为4 m/min。当水深为5m 时，其表面上升的速率为多少?
3
图
，水的容积为V （t ），【答案】如图所示，设在t 时刻容器中的水深为h （t ）即即故
6． 已知两点
【答案】
7． 设
【答案】
8． 设均匀柱体密度为
，占有闭区域
，求它对于位于点
（0，1，2）和
（1，﹣1，0）. 试用坐标表示式表示向量
及
.
=（1，﹣0，﹣1﹣1，0﹣2）=（1，﹣2，﹣2）
=﹣2（1，﹣2，﹣2）=（﹣2，4，4） ，试按定义求
。
，
M 0（0, 0, a ）（a>b）处的单位质量的质点的引力。
【答案】由柱体的对称性和质量分布的均匀性知F x =Fy =0，引力沿z 轴的分量
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