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一、填空题

1．

【答案】【解析】 2． 设球面

【答案】【解析】

3． 设a=（2, 1, 2），b=（4，﹣1, 10），c=b－λa ，且a ⊥c ，则λ=_____.

【答案】3

c=b－λa==. a⊥c , 故a ·c=【解析】（4，﹣1, 10）－λ（2, 1, 2）（4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）（2, 1, 2）（·4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）=27－9λ=0, 从而λ=3.

4． 设L 是正向圆周

【答案】【解析】圆周

的参数方程为

则

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=_____。

在第一卦限部分的下侧，则

_____。

在第一象限中的部分，则线积分=_____。

5． 过x 轴和点（1, -1, 2）的平面方程为_____。

【答案】

。又所求平面经过点

，

即

即

故所求平面方程为

【解析】由题意知，所求平面经过x 轴，故可设其方程为，故其满足平面方程，

得

（1, -1, 2）

。

6． 向量

场

_____。 【答案】2 【解析】

在

点

处的散

度

二、计算题

7． 求函数

【

在点（0, 0）的n 阶泰勒公式。

答

案

又

将以上各项代入n 阶泰勒公式，便得

其中

】

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8． 一平面过点（1，0，﹣l ）且平行于向量a=（2，1，1）和b=（1，﹣1，0），试求这平面方程.

【答案】所求平面平行于向量a 和b ，可取平面的法向量

故所求平面为1·（x －1）＋1·（y －0）－3·（z ＋1）=0，即

x ＋y －3z －4=0

9． 将函数

【答案】（1）展开成正弦级数： 将f （x ）作奇延拓，得得

则

满足收敛定理的条件，且在

上

，再将并有间断点

故

（2）展开成余弦级数： 将f （x ）作偶延拓，得则

满足收敛定理的条件，在

故

10．根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：

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分别展开成正弦级数和余弦级数。

作周期延拓，

再将

上

作周期延拓得，

且有间断点x=h。