2018年新疆农业大学农学院601大学数学1之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
2． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
3．
已知
，求
即
时
为任意常数. 此时方程组无解. 时
此时方程组无解.
【答案】
令
则且有
1
所以
4．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，
线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
若要使得原线性方程组有无穷多解，
则有及得
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此时，原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为
非齐次方程的特解为故其通解为k
为任意常
数
.
二、计算题
5． 设向量组
【答案】对含参数a 和b 的矩阵
的秩为2, 求a , b.
作初等行变换，以求其行阶梯形.
于是
6． 证明对称阵A 为正定的充要条件是：存在可逆阵U ，使
【答案】充分性：
若存在可逆阵U
, 使处的值
即矩阵A 的二次型是正定的
，从而由定义知.A
是正定矩阵.
必要性：因A 是对称阵，必存在正交阵
Q , 使
其中
2, …, n 记对角阵从而
显然U 可逆，并且由上式知
即A 与单位矩阵E 合同. 就有
并且A 的二次型在该
任取
是A 的全部特征值. 由A 为正定矩阵，故
记