2018年新疆农业大学林业研究所610大学数学2之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
是3维线性无关列向量，且
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
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芄中
不
知
故
2． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
且秩
的值.
即或
贝
因为A 是
是正定矩阵，
并求行列式
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
3． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
4． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
故所求的方程组可取为
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
构
将代入得，
解得此方程组
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
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（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
即
时
此时方程组无解.
二、计算题
5． 设A 为n
阶
矩阵
，
为A 的伴随矩阵. 证明
【答案】（1）当R （A ）时
，（2
）当即
（3）当R （A ）=n-1时，由矩阵秩的定义，A 中至少有一个n-1阶子式不为零，也即少有一个元素不为零，
故
由矩阵秩的性质得
把R （A ）=n-1代入上式，
得
6． 已知向量组A
:
【答案】
记矩阵因A 组与B
组等价
故求矩阵（B ，A ）的行阶梯形以计算3个矩阵的秩.
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.
得，从而
的任一元素均为零，
时，由矩阵秩的定义知，A 的所有，n-1
阶子式即
中至
知，
综合以上两个关于
的不等式，便有
另一方面，因R （A ）=n-1，有|A|=0.
由
B
：
证明A 组与B 组等价，