2018年新疆农业大学食品科学与药学学院610大学数学2之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
2．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令 3．
设
为三维单位列向量，并且
记证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解；
（Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，故A
有零特征值
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
4． 已知A 是3阶矩阵
，
是3维线性无关列向量，且
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
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对于矩阵
B ，
由
得
所以
得特征向量那么由：即
是A 的特征向量，
于是A
属于特征值-1的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ）由
知
故
芄中
不
二、计算题
5． 设矩阵
A 可逆，证明其伴随阵
【答案】因
另一方面，因
用A 左乘此式两边得
比较上面两个式子，即知结论成立.
6．
设矩阵
可相似对角化，求x
也可逆，且知
可逆
，且
【答案】先求A 的特征值
所以
（二重根）
，
（单重根）
•
于是A 可相似对角化
A 有3个线性无关的特征向量
A 对应于二重特征值1有2个线性无关的特征向量 方程（A —E ）x=0的系数矩阵的秩R （A-E ）=1 另一方面，
于是
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