2018年新疆农业大学食品科学与药学学院610大学数学2之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
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即满足AB=£；
的所有矩阵为其中为任意常数.
2． 已
知实二次
型
的矩阵
A ，
满足
且
其中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，
并写出所用正交变换及所得标准形
； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）由
由
知，B 的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值
即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B
的第1, 2
列线性无关
，量，
从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
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故二次型
3．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
4． 设B
是
矩阵
逆其中E 是n 阶单位矩阵.
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
且A 可对角化，
求行列式