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一、证明题

1． 证明：由曲面S 所包围的立体V 的体

积

为曲面S 的外法线方向余弦。

【答案】因

故原公式成立。

2． 求证:

(1) 若

(2) 若

有

注意到，当取定时，这样，当

时，有

从而(2) 因为

对

应用第(1) 小题结论，即得

3． 证明下列各式：

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为其中

则则

【答案】(1) 因为，所以对任给定存在m ，当时，便有于是，对

便是一个有限数，再取

使得当时，有

【答案】(1) 是

(2) 由于是

(3) 由

(4) 因为

所以

(5)

(6) 设于是

故

(7) 设

则

于是

故 4． 证明

【答案】令

则

所以

其中

则

即

，于是，在某个

内

有界，故

知

由函数极限的局部有界性知，

在

内有界，于

, 由函数极限的局部有界性知，

在

内有界，于

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5． 设在上连续可微，并且

上连续，

上一致连续，从而则存在..

在

上一致连续，对于且时，有

时，

有在

存在

对任给A>0, 存在_

如果(当时) ，

其中C 为一常数，试证

：

【答案】

在

若由于当故当所以

在

上也一致连续.

使得

根据柯西准则，

此即表明

6． 证明以下数列发散：

(1) (2) (3)

.

易知，若一个数列收敛于a ，则它的任何子列也收敛于a ，

数列

收敛于1，而奇数项组成的子列的第2k 项为

收敛于一1，从

的偶数项组成的子列

而数列

(3) 令

}发散.

(2) 收敛数列必有界. 而数列

发散.

则

于是

数列

的两个子列的极限不相等，故数列

发散.

于是这个数列是无界的，从而

发散，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，

即应有

【答案】(1)

由定理

二、解答题

7． 设是不含原点的有界区域，其体积为V ，边界为光滑的闭曲面

是

上的连续可微函数，它满足微分方程

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是的外法线单位向量

，

求