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一、证明题

1． 证明：

(1) (2) 【答案】(1)

界，设界为M. 若记

则

注意到

收敛，利用优级数判别法可知，

在[0, 1]上一致收敛.

因为

所以xlnx 在[0, 1]上连续并且有

由逐项积分定理，有

(2)(2) 的证明包含在(1) 的证明之中.

2． 设函数f 在区间I 上连续，证明：

(1) 若对任何有理数【答案】(1)

设当

为有理数时(2)

设有两个实数

有

则在I

上有

则f 在上严格増.

使

又因为

使得

：

并且

由有理数的稠密性知，

存在有理数

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(2) 若对任意两个有理数

由f

的连续性得

为中的任一无理数，由有理数的稠密性知，

存在有理数列

所以

也为0，于是，在

上

因为f (x ) 在上连续，所以f (x ) 在

数从而

.

和

存在而当

满足(

设

时

两点连续. 由) ，使得当.

从而

可知时

对于正

存在有理数

再由

知，

故f

在上严格递增.

3． 设正项级数

(1) (2) 由

发散.

用分点单调性，得

从而

当

时，

即得结论.

因单调下降且趋于0, 及

发散. 所以

有

故由收敛原理知

4． 设f 在

(2)

【答案】(1) 由得

并且对一切

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发散

，

令求证：

【答案】(1) 把

及

分成无限个小区间，在上，

(2) 方法一：

我们考虑级数

故级数

收敛，于是由第(1) 小题推出级数方法二：因对任意固定的

使于是对

发散.

有

证明：

连续，且对任何

(1) f 在R 上连续；

可知

于是

由f 在x=0连续可

故f 在R 上连续. (2) 对整数

有

所以

于是对任何有理数r 有上连续，有

对任何无理数

故对任何

存在有理数列

使

由f 在R

二、解答题

5． 讨论狄利克雷函数

【答案】

对于任意的而

对于任意的正有理数r 有

因此，对任意

有

所以，任意正有理数都是D （x ）的周期，即D （x ）是R 上的周期函数. 6． 设大值.

【答案】先求f 在条件

下的最大值. 设

令

解得

于是f 在条件故f 在条件

下的最大值为下的最大值为

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的有界性、单调性与周期性.

总有

故

在R 上有界

.

可见，D （x ）在R 上不具有单调性

.

为已知的n 个正数，求在限制条件下的最