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一、证明题

1． 设f (x ) 在

上可积，则

【答案】先证明事实上，由且

根据有

特别地，有

由f (x ) 在又因为

上可积可知，它在所以对上述，

上有界，即

当

于是，

当

时，有

即

2． 设

在

上连续. 证明函数

在

是单调递増函数.

先证

时有一方面

，

(否则，

若

在点

左连续.

对

另一方面，

设

则

当

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在

收敛(即法

，

在

上一致收敛. 关于y —致收敛) 及上一致收敛. 于是

，

关于x 单调(

当

固定)

时

，

有

时，

有

在上连续.

【答案】由闭区间上连续函数的有界性知扩大而不减，因而

对

上处处有定义，又上确界随取值区间因为

在点

连续，

所以

在

上的最大值

点为时

有

，

即从而当

于是当时，有

左连续). 于是当

即

时有

再证当又当

在点右连续.

时，有时，有

时，

有

时，

又

是单调递增的，所以

当

由此可知

当有

故综上所述，

3． 证明关于函数

(1) 当x>0时，(2) 当x<0时，【答案】即

(1) 当x>0时，式(2) 当x<0时，式

两边同乘以X ，得到两边同乘以X ，得到

是不超过

在点连续. 由的任意性知

的如下不等式：

的最大整数，因此

在

上连续.

4． 若在区间I 上，对任何正整数n ，

证明：当【答案】因为意.

及任意

在I 上一致收敛时，级数有

从而由

得

所以，由柯西准则知，

级数

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在I 上也一致收敛.

总存在N>0, 使得当n>N时，对任

在I 上一致收敛，故对任给的

在I 上一致收敛.

二、解答题

5． 设

是有界闭集

，

是D 上的连续函数. 证明：

在D 上有界，且一定取到最

大值和最小值.

【答案】①若f 无界，

则

这与已知条件矛盾，所以

②

由确界原理，知

存在，即

再由连续性和有界性得，同理可

在D 上有最小值.

在D 上有界.

在D 上有界，用反证法来证明：

所以由连续性，

在D 上一定取到最大值和最小值. 用确界原理来证明.

6． 求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积：

（1）（2）（3）【答案】（1）

（2）

（3）

当当

时. 时，

当

时，

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绕x 轴；

绕x 轴；

绕y 轴

绕x 轴。