2017年济南大学数学科学学院605数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 已知平面区域
(1) (2)
【答案】(1) 方法一由于
所以欲证的等式成立. 方法二由格林公式，有
因为D 关于直线y=x对称，所以左边=右边. (2) 方法一由(1) ，利用平均值不等式得
方法二由(1) 得
L 为D 的正向边界. 试证：
2． 证明的有界函数.
3． 设
是R 上的有界函数.
于是，
故
是R 上
【答案】由平均值不等式可得
在集合上有界，求证：
【答案】由下确界定义有
移项即得
由下确界定义有
即得要证的第一式，又因为
4． 设
是凸域，
与
所处的地位是对称的，故第二式也成立.
且满足
是半正定的.
为任一向量，当t 充分小时，点，
证明：f (x ) 的海色矩阵【答案】由泰勒公式得：
根据条件
故有
上式消去并令这表明矩阵
即得
是半正定的. 由于任意性，所以海森矩阵在上是半正定的.
二、解答题
5． 试写出单位正方体为积分区域时，柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.
【答案】在柱面坐标系下，用示为
的平面截立方体，截口是正方形，因此，单位立方体可表
在球面坐标系下，用
的平面截立方体，截口是长方形，因此单位立方体可表示为
其中
6． 用区间表示下列不等式的解：
（1）（3）⑷显然，当
即
综上，原不等式的解为. （2）显然，
当一个数是组
即
解得
用区间表示为
的解时，它的相反数也是不等式的解. 于是先求解不等式
于是原不等式的解集为
（3）由于a 个部分 当x 在其中任一部分中变化时， 都不变号，由此可得原不等式的解集为 （4）由单位圆中的正弦线可得 的解集是 k 为整数. 解得 时，原不等式总成立. （2） ； （a ，b , c 为常数，且a 【答案】（1）原不等式可化为当x>0时， 原不等式可化为 7． 讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性： 【答案】⑴ 所以