2017年暨南大学经济学院709数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
其中f 为可微函数，验证
【答案】设
则
所以
2． 设故只需考虑
故若当
证明数列
与级数_
收敛，必有时，有
与
与级数
间的关系. 因为
收敛；若，同时发散；
当
故若
进而
3． 设
收敛必有
收敛，即有
收敛；若，
. 发散，则有
发散，
发散，必有
时
发散.
同时收敛或同时发散.
的敛散性相同，
【答案】注意到数列的敛散性与正项级数
发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散. 在
上可微，且对于任何
有
求证：对任何正整数n ，
有
其中M 是一个与x 无关的常数.
【答案】由定积分的性质及积分中值定理有
其中
又因为
_在
上可微，所以由微分中值定理可知，存在
使得
因此
证明：
4． (1) 叙述极限证明
不存在.
在
上有定义，
极限上有定义，极
阳
使
得
则
5． 设
并且故
存在的充要条件是：
任给
不存在的充要条件是
：
取
对任给
的
不存在.
' 对任
何
得
存在实数
使得对任何
(2)
设
在总存
在
【答案】(1)
设
的柯西准则；(2) 根据柯西准则叙述
不存在的充要条件，并应用它
其中f 为可微函数，证明：
则
【答案】设
所以
6． 设为
【答案】
设中值定理，存在
使得
上的单调递减函数，证明：对任何正整数n 恒有
则由题设知
，
在
上为非负、递减函数. 由积分第二
二、解答题
7． 将函数
【答案】
展开成x 的幂级数.
本题亦可用待定系数法展开. 设
两边同乘以因此 8． 计算
其中L 为球面
与平面
的交线.
【答案】方法一(用参数方程求解) 将
代入球面方程整理可得
令
代入上式得
所以
于是
方法二(用对称性求解) 由于积分变量X ，y ，z 在曲线方程中具有轮换对称性(即三个变量轮换位置，曲线方程不变) ，所以
故
9． 计算
【答案】解法一：令
则
并比较x 同次幂的系数，可得