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一、证明题

1． 设

且

是一个严格开区间套，即满足

证明：存在惟一的一点使得

【答案】由题设知

，

又

因

2． 设

是

上的有界连续函数，证明:对任意使得

【答案】记(1) 若存

在

使得

当

则

这表明记为上

由(2) 若存在

(3)

若存在

使得当

满足

：

使得

时，恒有

可得

这种情形可仿照(1) 证明.

. 使得而且

3． 证明：若级数

【答案】假设发散.

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是一个闭区间套. 由区间套定理知，

存在惟一的点

所

以

使得即

存在数列满足

分三种情况讨论.

时，恒

有

而且

是单调递增数列. 注意到

的有界性，利用单调有界定理，

存在，

即

取

由连续函

于是，有

数根的存在定理知，存在

m ，收敛. 因

_

.

M

；也发散.

收敛，这与题设

. 发散矛盾，

所以若

. 故级数

也发散

4． 设常数A ，B ，C 满

足

变为方程

程

的两个不同实根.

【答案】由已知得关系式

，且线性变

换

其中u (x ，y ) 具有二阶连续偏导数. 证明：

于是

把方

程

为方

同理

将其代入方程中整理得

由已知条件，原方程变为

所以有

由为方程

5． 试证明

【答案】数集

知，一元二次方程

有两个不等的实根，而由前两个方程知

的两个根，由第三个不等式知

有上界而无下界. 对任意的

故3是数集S 的一个上界.S 无下界，

因为对于任意一个正数M , 令而

6． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数. 证明：若f 在有界.

【答案】因为f (x ) 在得

于

是

故f (x ) 在R 上有界.

上有界，所以存在M>0, 使得对任意

对于任意

即

I 上有界，则f 在R 上

有

正

数h 的所有整数倍从小到大依次为：必存在惟一整数k ，使

由于h 是f 的周期，因

而

二、解答题

7． 求

【答案】

令导性知

又

从而

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易知其收敛域为

由幂级数的逐项可

于是

8． 求函数

【答案】故有 9． 设

：

【答案】

其中

为可微函数，求

在点

处沿到点其方向余弦为

的方向因为

上的方向导数.

)

10．设

【答案】由

其中

由方程所确定的隐函数

所确定的隐函数求胃得

故

11．一物体在某介质中按移至

【答案】

其中

故

12．设函数

【答案】

构造函数：

可知，

连续且有界。但是

在

时非一致连续.

当

时，

在开区间在

内连续且有界，试讨论内非一致连续.

在

内的一致连续性.

作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由

时克服介质阻力所作的功。

反证法：如果函数一致连续，则对

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