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一、证明题

1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续：

【答案】(1)

由

得

取

由于是

则当

时

知，

对于任给的

在其定义域内连续. 证明：所以

3． 设f 为可导函数，证明：若

时有

则有

【答案】由复合函数求导法则，有

由题设

4． 证明抛物线

【答案】

显然当由

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的定义域是因为的图像关于原点对称，所以对于任给

的

限

制

只需对X>0的情形进行证明. 设

.

取

则当

于是，f (X ) 在其定义域内连续. (2) f (x ) 的定义域是R ,

任取

时

2． 设f (x , y) 为连续函数，且

【答案】令

时得

即故

在顶点处的曲率为最大。

时，得

即抛物线

是单调递减的. 故当时，取最大值。

在顶点处的曲率为最大。

二、解答题

5． 叙述数集A 的上确界定义，并证明：对任意有界数

列

【答案】若存在数满足下面两条：

（1）（2）则称令

则

6． 应用分部积分法求下列不定积分：

【答案】

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总

有

一定存在

为数集A 的上确界，即supA=a.

因此

（10）

因此

7． 设

【答案】对

是n 个正实数，求

取对数得

所以

8． 按柯西收敛准则叙述数列

⑴

【答案】

数列

使得

（1）取故数列（2）取

对任意的正整数N ，取

发散.

对任意的正整数N , 取

则有

并且

故数列（3）取

发散.

对任意的正整数N , 取

则有 则有

并且

（2）

发散的充要条件，并用它证明下列数列

（3）

是发散的：

发散的充要条件是：

存在对任意的正整数N ，

都存在正整数

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