当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：

(1)

【答案】(1) 设

(2)

考察正项级数

的收敛性，因为

所

从而级数

收敛. 由级数收敛的必要条件知

(2) 设

考察正项级数

的收敛性，因为

»

所以

2． 证明:若

【答案】(1)

(2) 由(1) 的运算可得

3． 证明：1) 若

2) 若

则当

则

时，

第 2 页，共 28 页

从而级数收敛. 由级数收敛的必要条件知

为包围区域V 的曲面的外侧，则

3) 利用上题的递推公式计算：

【答案】1)

2)

因此

又

因此

3)(1) 利用题1) ，这时

故有

(2) 利用题1) ，这时

故有

(3) 利用题2) ，这时

故有

第 3 页，共 28 页

4． 设

为常数

证明：

【答案】

同理，

所以

二、解答题

5． 计算积分

其中

是关于y 的奇函数，故

作极坐标变换：

则

6． 设a>0, 求曲线数为

第 4 页，共 28 页

【答案】因为积分区域D 关于x 轴对称，而

上的点到xy 平面的最大与最小距离.

到xy 平面的距离d=z, 构造拉格朗日函

【答案】设P (x ，y , z) 为曲线上任一点，易知