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一、证明题

1． 证明对任意常数

【答案】设

球面.

与锥面

是正交的

是球面与锥面交线上的任一点，则球面在该点的法向量为

维面在该点的法向量为

因为故对任意常数球面与锥面正交.

2． 设

【答案】

所以

3． 设

且

试证

因此

又因

为

于是有

由柯西收敛准则，得

4． 设可微函数列

对意

在

在

在

在

上一致收敛.

在

上一致有界，证明：

对一切

证明：

在

上连续，又有函数列

在当

在

上也一致收敛.

在

且

上也一致连续.

时，有

有

在

上一致收敛，

【答案】由一致连续性定理可知

上一致收敛，由柯西收敛准

则

上收敛

，上作分割

在上一致收敛.

均有

【答案】依题意

，

上一致有界，

故存在

及任意

且m

个小区间上收敛，所以对于点

对任意

的区间长度

存在N , 使得当

必存在某小区间

使

满足

时，对任意

由微分中值定理，可得

有

因为(/»:在

即对任意从而

在

存在N , 当]上一致收敛.

时，对任意. ，有

二、解答题

5． 设f (x ) 在[a, b]上连续，证明不等式数时成立.

【答案】

其中

若等号成立，则对任

何

f (x ) =f(y ) ,

即f (x ) 为常量函数.

6． 设球体

上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球体的质量.

即

所以

，其中等号仅在f (x ) 为常量函

【答案】根据题意所求球体的质量为

应用球坐标变换

于是

应用

7． 设函

数

在内满

足且

，计

算

【答案】方法一

方法二当

时，有

故

8． 计算

【答案】补充平面

其中S 为曲面

被平面

方向向上. 有

而从而，

9． 求下列函数的导数：

求求

【答案】⑴

和和，

•

所截部分的外侧.