2017年西安科技大学计算机科学与技术学院612数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设1) 内连续。
【答案】这表明
令
得在式(1) 中，令由式(2) 、式(3) 知，
得
类似地可证：
从而
在
点连续.
由的任意性知，在(0，1) 内连续.
2． 设是一个无界数列，但非无穷大量. 证明:存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列.
【答案】因为取
则
是无界的，所以对使得
则侧
因此
取
则
则则
于是得一有界子列
3． 设
在
使得
使得
使得
. 由致密性定理知，
中存在收敛子列.
使
【答案】令
则
在
上有二阶连续导数. 对
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在(0, 1) 内有定义，且函数
与在(0, 1) 内都是单调不减的. 试证：有
即
知对
有
在(0，
可知，对
所以
即
都存在. 又由
使稩
使得
使得
不是无穷大，
所以
对任意正整
使得
为无穷大量.
因数列
上有一阶连续导数，证明存在
应用泰勒公式，有
在上式中取
4． 设
且
即得
是一个严格开区间套，即满足
证明：存在惟一的一点使得
是一个闭区间套. 由区间套定理知，
存在惟一的点
所
以
使得即
【答案】由题设知
，
又
因
二、解答题
5． 设有力
向
试求单位质量
M ，沿椭
圆
移动一周(从z 轴正向看去为逆时针方向时) ，力F 所作的
功.
【答案】此即为求曲线积分
由Stokes 公式，
其中S 为C 围成的平面z=4上椭圆面，方向为上侧，由于
所以
令所以
6． 在曲线
设曲线在即I
所以所求点为
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¥面，故
则
且
上求出一点，使曲线在此点的切线平行于平面
则有
解之獨
或
；
处的切线平行于平面
【答案】对曲线上任意一点
7． 设存在
，
则
即
【答案】由令
对x 求导，有
8． 求幂级数
【答案】由于
因此另外
因此幕级数
9． 求
在球面
的收敛域为时，函数
上的极大值；并证明当a , b , c 为正实数时，有
【答案】构造拉格朗日函数
令
解出驻点为
下面来判断这个驻点为极大值点. 由
可得L 在驻点处的海森矩阵
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的收敛域及和函数.
的收敛域
及和函数为