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一、证明题

1． 证明

在

上一致连续.

, 由, 任取

,

且

在

, 设

, 则有

由

故f （x ）在

2． 设f （x ）是

使得

【答案】记（1）若存

在

则

这表明为上L.

由

, 可得

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【答案】（1）证法一:

定理知, f （x ）在[0, 1]上一致连续. 对

对任给的知, f （x ）在

（2）证法二:设

,

可取

,

只要

在[0, 1]上连续, 据一致连续, 有

,

就有

上一致连续.

由定义

上一致连续, 综上, 可知

, 得于是, 取上一致连续.

, 则当

时, 有

.. 上的有界连续函数, 证明:对任意T0, 存在数列满足,

分三种情况讨论.

, 使得

当

, 而且

是单调递增数列. 注意到f （x ）的有界性, 利用单调有界定理,

存在, 记

时, 恒

有

,

即

.

取

（2）若存在（3）若存在于是, 有

, 使得当

满足:

时, 恒有. 这种情形可仿照（1）证明.

. 使得

, 使得

, 而且

. .

由连续函数根的存在定理知, 存在

3． 在[0, 1]上定义函数列

证明级数【答案】由

在[0, 1]上一致收敛, 但它不存在优级数. 定义可得

从而时, 有

及

, 有

恒成立. 所以对于任意

取

当n>N时, 对任意的

由柯两准则知, 级数

在[0, 1]上一致收敛. 若

存在优级数特别取, 有

而正项级数优级数

4． 证明:对黎曼函数

【答案】

发散.

所以级数发散,

这与为优级数矛盾, 因此级数不存在

有（当或1时, 考虑单侧极限）

上的黎曼函数的定义为

对于任意的满足不等式的正整数q 只有有限个. 设内只有有限多个既约真分数使得

（若

为既约真分数, 则

取

.

若

使得则当

因而p 也只有有限个. 于是在

时, 有

内不含这有限个既约真分数.

则当

则当

故

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5． 设正项级数

【答案】令

收敛，证明：级数

则

仍收敛，其中

对上式两边取极限得

6

．

证明:若函数

则对【答案】令有

于是, 对任给的

有

将

与

在区间

内二阶可导

, 且对

有

在点作泰勒展开,

有

.

所以级数

收敛到

二、解答题

7．

若f （x ,

y ）在有界闭区域

D 上连续, 且在D 内任一子区域f （x , y ）=0.

【答案】假设存在, 使得对一切

, 使得

, 有

. 不妨设

则

. 由连续函数的保号性知:存在,

与已知

矛盾.

上有

, 则在D 上

故必在

D 上f （x , y ） =0.

8． 求由所围的立体的体积.

yOz 平面对称. 在上半空间【答案】显见立体关于xOy 平面、分的区域, 则

作广义球坐标变换:

上, 用

表示位于第一卦限部

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