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一、证明题

1． 证明:设f 为n 阶可导函数, 若方程实根.

【答案】设方程对f （x ）在区间存在再对存在

使得

在n －1个区间

使得

的n+1个相异的实根为

, 即

, 即

, 并且

至少有n 个相异实根. 上应用罗尔中值定理知,

至少有n －1个相异实根. 如此继

上应用罗尔中值定理知, 有n+1个相异的实根, 则方程

至少有一个

续下去可得, 至少有n －2个相异实根, 至少有一个实根.

2． 设f 、g 均为定义在[a, b]上的有界函数. 证明:若仅在[a, b]中有限个点处

在[a, b]上可积时, g 在[a, b]上也可积, 且

【答案】设f （x ）与g （x ）在[a, b]上的值仅在k 个点

处不同, 记

, 使当

, 则当f

f x ）, 由于（在[a, b]上可积. 存在

时, 有

, 则当

时, 有

当

时,

, 所以上式

中至多仅有k 项不为0, 故

这就证明g （X ）在[a, b]可积, 且 3． 设

（1）（2）（3）

【答案】（1

）因为

时, 有

取

则当

当

同时有

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.

证明:

所以对于任给的

时, 有

存在.

成立, 因而

.

使得当

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故

（2

）对于任给的

时,

时

,

故

（3）对

于任给

的

时

,

时,

有

取

则当

时有

故

4． 设f （x ）在[0, 1]上连续，且收敛.

【答案】对任意的存在使得当从而

第

3 页，

共

43 页

存在

, 使得当

再由函数极限的局部有界性知, 存在

则当

时, 有

时

, 当使得当

, 存在

因为

, 使得当时

,

当使得当

由

局部保号性知, 存在

在[0, 1]上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致

收敛，所以

，因为从而

，

由于f （x ）在[0, 1]上连续，所以f （

x ）在[0, 1]

上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

使f （x 0）为f （x ）在[0, 1]上的最大值，从而存在时，

由于

收敛，故该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛.

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5． 证明:当

【答案】因为

时

所以

6． 证明数集

【答案】令数集两个聚点.

对任意

由或者有

得

,

取

且

.

总之

,

令, 则当

时, 或者有

.

有且只有1和-1两个聚点.

.

,

有且只有两个聚点

,

数列, 数列

和

, 则

都是各项互异的数列, 根据定义2, 1和-1是S 的

由定义知不是S 的聚点, 故数集

二、解答题

7． 检验一个半径为2米, 中心角为长, 设量角最大误差为

的工件面积如图, 现可直接测量其中心角或此角所对的弦

, 量弦长最大误差为3毫米, 试问用哪一种方法检验的结果较为精确

.

图

【答案】设弦长为1, 则角引起的弦长误差为

此由量角引起的弦长最大误差为:

所以由上面的讨论可知用直接测量此角所对的弦长方法检验, 所得的结果较为准确.

8． 设

2

, 其中为中心角, 为量角误差, 从而当时由量

, 因

,

又因为量角时的最大误差为

求它在（1, 0）点的偏导数.

, 同样因.

, 所以.

.

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【答案】方法一 因f （x , 0）=x, 所以