2018年南开大学数学科学学院718数学分析高等代数之高等代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 求最小实数C , 使得满足
【答案】一方面
另一方面, 如果取
, 则有
. 而
由此可知, 最小实数C=2.
2． 确定正数
使曲面
【答案】设两曲面在点
与椭球面
相切, 则曲面
在某一点相切（即在该点有公共切平面）.
在点
的切平面
应为一个平面, 所以
即
又从而
故所求的正数
3． 求下列幂级数的收敛区间:
（1）（2）
, 所以
与椭球面在点的切平面
的连续函数f （x ）都有
.
【答案】（1）记, 则
所以原幂级数的收敛区间为（﹣
1, 1）.
（2
）令
,
则原级数变为
. 记
, 则
所以原幂级数的收敛区间为 4．
设
, 求证递推公式:
【答案】因为
所以
5． 设
考察函数, 在原点（
0, 0）的偏导数. 【答案】由于
不存在,
所以, f （x , y ）在原点关于x 的偏导数为0, 关于y 的偏导数不存在. 6． 设
’求
. , 即
-或
.
【答案】方法一作变量代换t=x—2, 则
方法二因为
所以
7
．
边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成
【答案】如图所示, 静压力的微元
角斜沉于液体中. 设a>b, 长边平行于液面, , 则
上沿位于深h 处, 液体的比重为v. 试求薄板每侧所受的静压力.
图
8． 设f （x , y ）为连续函数, 试就如下曲线:
（1）L :连接 A （a , a ）, C （b ,
a ）的直线段;
（2
）L :连接A （a , a ）, C （b , a
）, B （b , b ）三点的三角形（逆时针方向）, 计算下列曲线积分:
【答案】曲线如图所示,
图
（1）直线段L （AC ）的方程y=a,
所以