2018年青岛大学数学科学学院657数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 有一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 间底的半径与容器高的比例应该怎样?
【答案】设底的半径为r , 则
, 由
, 容器的高
, 又因为
, 故
. , 容器的表面积
于是故
2． 求积分
【答案】而
所以
又因为
所以
得
,
,
是S （r ）的极小值点, 此时
即当底的半径与容器的高的比例为1: 1时, 容器的表面积为最小.
3． 试作适当变换, 把下列二重积分为单重积分:
, 其中D 为圆域:
（2）（3）（4）
, 其中, 其中, 其中
,
.
,
【答案】（1）经过极坐标变换后
（2）积分区域D 如图1所示, 由它的对称性及被积函数关于x 和关于y 都是偶函数, 知积分值等于4倍的第一象限部分D 1上的积分值, 其中
, 应用极坐标变换, 有
所以
图1
（3）令u=x+y, v=x—y ,
则
, （4）令u=xy,
. 所以
, 则
原积分区域（图2）变换成
,
. 所以
, 原积分区域变换
成
图2
4． 已知
【答案】令
则
求
所以
5． 计算近似值:
（1）（2）
【答案】（1）设
根据
则
因而 6． 设
【答案】由故
, 且满足即
, 求证
:
有下界, 又由
,
（矛盾）
由此可见a>0, 进一步由极限的四则运算法则, 有
即得a=1, 即
7． 计算第二型曲线积分:
其中A （1, 1）, B （2, 4）分为两种情况: （1）（2）
为连接A , B 的直线段; 为抛物线:y=x.
2
（2）设
的极限存在, 并求出极限值.
存在, 若a=0, 则
由广义极限的四则运算法则, 有
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