2018年北京工商大学理学院806概率论与数理统计之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
则
为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.
所以由马尔可夫大数定律知 2． 设分统计量.
【答案】由几何分布性质知，
其分布列为
在给定
后，对任意的一个样本
有
是来自几何分布
的样本，证明
是充
服从大数定律.
的方差
一致有界，即存在常数c 使得
【答案】因为
该条件分布与无关，因而
是充分统计量.
个
和个
譬如
这n 个分布，且
把此序列分成n 段，每段中
的个数依次记为
这里诸
服从几何
这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个
我们指出，此种序列共有个（这是重复组合），而每一个出现这就是在
给定后
的
是等可能的，
即每一个出现的概率都是
条件联合分布.
这个条件分布还表明:
当已知统计量
的值t 后，就可按此条件分布产生一个样本
它虽与原样本不尽相同，但其分布相同.
在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分统计量的真实含义.
3． 设
证明: （1）（2）
【答案】（1）由下界，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布
的密度函数p （x ）的对数是
由此得
的费希尔信息量
从而
的无偏估计的C-R 下界为
无偏估计的方差相等，故此
是
，
的有效估计.
是
的有效估计；
是的无偏估计，但不是有效估计. 知
. 为了获得
的元偏估计的C-R
是来自正态总体
的一个样本，若均值已知，
此下界与上述（2）由于
可见，
，即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
从而的元偏估计的C-R 下界为
，
由于无偏估计的方差此处，
，故不是的有效估计.
的无偏估计的C-R 下界与的方差的比为
，
该比值常称为无偏估计的效.
4． 证明:对正态分布
，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在
时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大
似然估计不存在.
5． 设为独立随机变量序列，且
证明:服从大数定律.
相互独立，且
【答案】因
故可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
二、计算题
6． 设下给定:
（1）求（2）求（3）求
是来自正态分布
, 在固定的后验分布的后验边际分布；
给定条件下的后验边际分布.
的先验分布为
与
的联合分布为
的一个样本，令
时，的条件分布为
；
又设，其中
的联合先验分布如已知.
【答案】 （1）
相关内容
相关标签