2018年北京工商大学理学院806概率论与数理统计之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
2． 设证明
:服从贝塔分布，并指出其参数.
【答案】若
则X 的密度函数为
由其反函数为
上是严格单调增函数，
的密度函数为
:
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
且X 与Y
3． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则
【答案】记这正是二项分布
4． 设
因为
的特征函数，由唯一性定理知
所以由X 与Y 的独立性得
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
都是的无偏估计；
的估计中，
，故
最优.
，
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
又
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
5． 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则
由于从而
这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到
所以
从而
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
最优. 为样本，
都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得
是的无偏估计，且
的均值与方差，
令
因而
故