2018年北京工商大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 某种配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目分别是10, 53, 46. 按照某种遗传模型其频率之比应为
，问数据与模型是否相符？
【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体可分为三类.
若记三类出现的概率分别为
则要检验的假设为
r
此处.
用最大似然法估计P. 其似然函数为
再微分法可得于是从而
查表知因此不能拒绝
，故拒绝域为
观察结果
不落在拒绝域，
，即可以认为数据与模型是相符的. 此处的P 值为
，
，
„由于含有一个未知参数P , 需要将之估计出来，
2． 为确定某城市成年男子中吸烟者的比例p , 任意调查n 个成年男子，记其中的吸烟人数为m , 问n 至少为多大才能保证
【答案】因为
与p 的差异小于所以
的概率大于
根据题意有
由此得
查表得
因为所以当时，必可满足要求，因此至少抽9604个成年
小于
的概率大于
男子，可使其吸烟频率与实际成年人中吸烟率p 的误差
3． 设是来自密度函数为的样本，
（2）求的矩估计
它是否是相合估计？是否是无偏估计？
（1）求的最大似然估计它是否是相合估计？是否是无偏估计？ 【答案】（1）似然函数为
显然又
在示性函数为1的条件下是的严增函数，因此的最大似然估计为的密度函数为
故
故
不是的无偏估计，但是的渐近无偏估计. 由于
且
这说明又这说明
是的相合估计.
，这给出，所以
既是的无偏估计，也是相合估计.
所以的矩估计为，从而有
4． 从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋中进行有返回地摸球，直到摸到白球时停止. 试求取出黑球数的期望.
【答案】令X 为取到白球时已取出的黑球数，则Y =X+1服从几何分布以
，由此得
.
5． 设9件产品中有2件不合格品，从中不返回地任取2件，求取出的2件中全是合格品，仅有一件合格品和没有合格品的概率各为多少？
【答案】仿抽样模型可得
，所，
（2）由于
6． 一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的最大似然估计.
【答案】解法1记p 为罐子中白球的比例，令表示第i 次有放回抽样所得的白球数， 则
因为黑球数与白球数比值
，故p 的最大似然估计为
根据最大似然估计的不变性，有
对具体的样本值即n 个抽到k 个白球来讲，R 的最大似然估计为解法2设罐子里有白球1个，则有黑球从中有放回的抽一个球为白球的概率为
从罐中有放回的抽n 个球，可视为从二点分布
表
中抽取一个样本容量为n 的样本. 当样本中有k 个白球时，似然函数为
>
其对数似然函数为
将对数似然函数对R 求导，并令其为0, 得似然方程解之可得
由于其对数似然函数的二阶导数为
，
所以
是R 的最大似然估计.
， ，
，
个，从而罐中共有
. 个球.
譬如，在n=10, k=2场合，R 的最大似然估计黑球为8个等. 7． 设随机变量问d 至多为多少？
【答案】⑴
即罐中黑球数与白球数之比的最大似然估计为4，若白球1个，黑球为4个；或者白球2个，
，（1）求；（2）求；（3）设d 满足
，
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