2018年内蒙古民族大学数学学院806高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
2． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
所以向量组
线性无关.
线性无关.
则
为（ ）.
3． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则. 则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解
有惟一解 只有零解 有零解.
秩A , 则线性方程组（ ）.
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
未知量个数
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】
5． 设A 为常数，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
考虑到
是.
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
有解矛盾），所以
矩阵，
阶方阵，且秩
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
秩
的3个线性无关的解，
为任意
是非齐次线性方程组
的通解为（ ）.
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
二、分析计算题
6． 已知
的线性变换丁在基.
下的矩阵为
求T 在基【答案】设由基
到基
下的矩阵及T 的值域与核.
的过渡阵为X , 即
即
所以T 在
下的矩阵
先求T 的值域:
又
对B 作初等变换, 有
所以B 的秩为3, 由①、②可得
因而
为TV 的一组基再求A 的核知故
7． 设R 的线性变换在标准正交基下的矩阵为
（1）求A 的特征值和特征向量. （2）求
的一组标准正交基, 使A 在此基下的矩阵为对角矩阵.
所以A 的特征值为
且
; 由
【答案】（1）计算可得