2018年南开大学数学科学学院845高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,
记
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】由已知，有
于是
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
3． 设A 为矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
A. B.
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则（ ）.
则为（ ）.
的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）.
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C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
考虑到 4． 设
A.
B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而 是
. （否则与
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
有解矛盾），所以
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
的一个特解，所以选C.
的两个不同解，
是
的基础解系，
是非齐次线性方程组
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
，因此不是的特解，从而否定A ，C.
由于故 5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
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，因此是
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
的基础解系. 又由
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
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二、分析计算题
6． 在线性空间中，证明:
（1）（2）【（
答
案
】
2
7． 设
（
1
）
）
是数域P 上线性空间V 的一组基,
是V 的基； 的对偶基, 并用
表示
是
的对偶基, 令
（1）证明:（2）求
【答案】（1）设
的对偶基.
则（2）设
是
由
的对偶基, 由
是V 的基, 故
也是V 的基. 则
于是
的对偶基为
8． 设
（1）证明：
（2）求 A100.
【答案】 （1）用数学归纳法，当
时，有
即①式对
成立.
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